[Python] 최단 경로 문제 - 다익스트라, 플로이드 워셜

< 다익스트라 알고리즘 >

- '하나'의 정점에서 다른 모든 정점으로 가는 최단 경로

 

[ 조건 ]

- 음의 간선이 존재하지 않음

 

[ 기존의 선형탐색 방법의 다익스트라 ]

- O(n^2) 의 시간 복잡도를 가짐

- 문제점은 노드의 개수가 10,000개가 넘어가는 문제라면 시간초과 가능성이 높음

 

[ 우선순위 큐를 이용한 다익스트라 ]

- 힙을 이용하여 구현

- python 에선 heapq 라이브러리로 구현되어있음

- O(NongN) 의 시간복잡도

 

[ 과정 ]

1. 최단거리 테이블을 초기화(자기 자신은 0, 직접 연결되어있지 않는건 무한대로 초기화)
2. 처음엔 가장 가중치가 작은 값을 선택함
3. 하나의 노드를 선택하고 해당 노드를 거쳐서 가는 경우를 모두 고려하여 가장 최소인 값으로 업데이트 (이때, 값이 새로 갱신된 경우에만 힙에 넣어줌)
4. 방문하지 않은 노드 중에 가장 비용이 적은 노드를 선택 (이때 최소힙을 사용!)
5. 2번부터 반복
6. 모두 반복하면 끝

[ 특징 ]

- 그리드 알고리즘에 속함

- 방문을 체크하는 visited 배열이 따로 생성되지 않음

-O(NolgN) 의 시간 복잡도

 

[ 코드 ]

#방문처리의 목적인 visited 테이블이 사용되지않음

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = sys.maxsize

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
   print(distance[i])

 

< 플로이드 워셜 알고리즘 >

- '모든' 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로

[ 특징 ]

- 3중 for문을 이용해 기본 점화식 D(ab)=min(D(ab),D(ak)+D(kb)) 를 따름

- DP 유형에 속함

 

[ 코드 ]

import sys

INF = sys.maxsize # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for i in range(1, n + 1):
	graph[i][i] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == 1e9:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()